定理证明即强化学习：数学推理的自动形式化综述

引言

定理证明作为数学和计算机科学的基石，在形式化验证、程序正确性证明以及人工智能等领域扮演着至关重要的角色。自动定理证明旨在开发能够自主地发现和验证数学定理的系统，长期以来一直是人工智能领域的研究热点。近年来，强化学习（Reinforcement Learning, RL）凭借其在复杂决策问题中的卓越表现，为自动化定理证明带来了新的突破。将定理证明视为一个序列决策过程，利用强化学习训练智能体学习证明策略，已成为一个极具潜力的研究方向。然而，这一新兴领域也面临着诸多挑战，例如如何构建有效的定理证明环境、设计合适的奖励函数以及选择合适的强化学习算法等。

本文旨在对“定理证明即强化学习：数学推理的自动形式化”这一主题进行全面的综述，深入探讨该领域的研究现状、挑战与未来发展方向。首先，我们将考察基于强化学习的定理证明环境构建与挑战，重点关注形式化语言的选择与表示、奖励函数的设计、动作空间的设计以及状态空间的设计，这些都是构建有效强化学习定理证明系统的基础。其次，我们将深入分析强化学习算法在定理证明中的应用与改进，包括深度Q网络（DQN）及其变体、策略梯度方法（Policy Gradient）及其变体、模仿学习与强化学习的结合，以及基于Transformer的强化学习方法，旨在揭示不同算法在定理证明任务中的表现和适用性。最后，我们将展望定理证明即强化学习的未来发展方向，包括多智能体强化学习、元学习以及可解释性与可信赖性等，这些方向有望进一步提升自动化定理证明的能力和应用范围。通过对这些关键问题的深入探讨，本文旨在为该领域的研究人员提供一个全面的视角，并促进未来研究的开展。

基于强化学习的定理证明环境构建与挑战

形式化语言的选择是构建基于强化学习的定理证明环境的首要环节。HOL Light、Coq、Isabelle等形式化语言在语法、类型系统和自动化程度上的差异，直接影响强化学习算法的学习效率和证明能力。HOL Light以其核心逻辑的简洁性和高可靠性著称，但自动化程度较低，需要更多人工干预，这增加了强化学习智能体探索动作空间的难度。Coq拥有强大的类型系统和证明辅助工具，能够更便捷地表达复杂的数学概念和证明策略，但也可能增加状态空间的复杂性，使得强化学习算法更难收敛。Isabelle则在自动化和灵活性之间取得了平衡，支持多种逻辑和证明策略，并提供丰富的自动化工具，使其成为强化学习定理证明的常用选择。因此，选择何种形式化语言需要根据具体任务的需求进行权衡。

将数学表达式编码为强化学习模型可处理的输入是另一项关键挑战。常见的做法是将数学表达式表示为抽象语法树（AST），并利用图神经网络（GNN）对AST进行编码。在GNN中，节点代表表达式中的符号或操作符，边代表符号之间的关系。通过GNN的学习，复杂的数学表达式可以转换为低维向量表示，作为强化学习模型的状态输入。然而，这种方法可能丢失重要的语义信息，如变量之间的依赖关系。设计更有效的状态表示方法，既能保留足够的语义信息，又能降低状态空间的维度，是未来研究的重要方向。Varshosaz等人的研究表明，通过形式化方法对强化学习问题进行规范化，可以提高算法的测试效率和可靠性1。

奖励函数的设计在引导强化学习智能体进行有效证明中至关重要。不同的奖励策略直接影响智能体的学习效率和最终的证明能力。常见的奖励策略包括稀疏奖励、密集奖励和中间奖励。稀疏奖励仅在完成证明时给予奖励，其优点是简单直接，但缺点是探索空间巨大，智能体难以找到有效的证明路径，尤其是在复杂的定理证明环境中。密集奖励在每一步动作后都给予奖励，奖励信号可以基于当前状态与目标状态的距离，或是基于动作对证明进度的贡献。这种策略可以加速学习过程，但需要精心设计奖励函数，否则可能导致智能体学习到次优策略。Tovarnov等人提出的基于简化轨迹时间的奖励函数，在无人机控制和导航问题中表现出良好的效果，并成功应用于无人机飞行、避障和拦截等任务9。中间奖励则是一种介于稀疏奖励和密集奖励之间的策略，它在关键步骤或里程碑事件发生时给予奖励，引导智能体朝着正确的方向前进。设计有效的奖励函数是定理证明即强化学习的关键挑战之一。一个好的奖励函数应该能够准确地反映证明目标，提供足够的指导信号，同时避免产生误导。Karalakou等人通过组合与环境不同信息层级相关的奖励函数成分，为自动驾驶设计出既能减少碰撞又能满足速度需求的策略3。Song等人提出了一种基于大型语言模型（LLM）的框架，用于自动设计奖励函数，利用LLM生成初始奖励函数，然后根据性能评估结果进行自我完善，结果表明，LLM设计的奖励函数能够与手动设计的奖励函数相媲美甚至超越4。Jaramillo-Martínez等人设计了一种奖励函数，激励智能体选择转弯次数最少的路径，并结合动态规划和深度Q学习方法，结果表明，强化学习算法的性能优于经典的A*算法，转弯次数减少了50%，总距离减少了3.2%到36%5。此外，Kwiatkowski等人发现，在人群模拟中，直接最小化能量使用是一种可行的策略，只要它与适当缩放的引导势能相结合8。这些研究表明，奖励函数的设计是一个复杂而重要的课题，需要根据具体的任务和环境进行调整和优化。

动作空间的设计同样是基于强化学习的定理证明中一个至关重要的环节，它直接影响着智能体探索和利用证明策略的效率7。基于规则的动作空间通常包含大量的逻辑推理规则，智能体需要在每一步选择合适的规则进行应用。这种方式的优点是灵活性高，能够覆盖各种可能的证明路径，但缺点是搜索空间巨大，容易陷入局部最优8。相比之下，基于证明策略的动作空间则将多个推理步骤封装成一个策略，例如归纳法、反证法等。这种方式能够有效地减少动作空间的大小，加速学习过程，但可能会限制智能体的探索能力，使其难以发现新的证明策略9。Abdelaziz等人提出的TRAIL系统，通过使用图神经网络表示逻辑公式和一种新颖的神经网络表示饱和定理证明器的状态，并将推理选择过程表示为基于注意力的动作策略，证明了精心设计的动作空间能够显著提升定理证明的效率8。

状态空间的设计对强化学习智能体的学习效率和最终性能有着至关重要的影响。不同的状态表示方法各有优缺点，需要根据具体的定理证明环境进行选择和优化。基于证明树的状态表示能够提供丰富的上下文信息，帮助智能体理解当前证明的进展和潜在的证明路径，但这种表示方式通常会导致状态空间非常庞大，增加学习的难度。基于目标的状态表示则更加简洁，只关注当前需要证明的目标，但可能会丢失一些重要的上下文信息，导致智能体难以做出有效的决策。为了构建更有效的状态空间，研究者们提出了多种方法，例如通过学习状态特定的掩码来自动减少离散动作空间，从而间接降低状态空间的复杂度10。Ziyi Wang等人提出的方法通过量化动作在MDP中的行为结果，并设计专门的掩码模型来确保其二元性质，从而消除对MDP影响最小的动作，并聚合MDP中具有相同行为结果的动作，实验结果表明，这种方法可以显著加速强化学习过程并提高性能10。此外，P. Becker等人指出，循环状态空间模型（RSSM）使用了一种次优的推理方案，导致模型高估了真实系统的不确定性11。他们提出了一种名为变分循环卡尔曼网络（VRKN）的替代方法，该方法使用卡尔曼滤波进行精确的平滑推理，并使用蒙特卡洛Dropout来建模认知不确定性，从而提高了在需要准确估计不确定性的任务中的性能11。

强化学习算法在定理证明中的应用与改进

深度Q网络（DQN）及其变体为解决离散动作空间的定理证明问题提供了一种途径，其通过学习Q函数来评估在特定状态下采取动作的预期回报，进而指导智能体决策。在定理证明的语境下，每个证明步骤可被视为一个状态，而每个可应用的推理规则或策略则对应一个动作。例如，Akazaki等人12在形式化验证中，将网络物理系统（CPS）的鲁棒性引导伪造问题转化为强化学习问题，并利用Double DQN（DDQN）来减少寻找反例所需的模拟次数。尽管该研究并非直接应用于定理证明，但其思路具有借鉴意义，即通过DQN学习不同证明策略的价值，从而指导证明过程。

然而，将DQN及其变体直接应用于定理证明面临着诸多挑战。首先，定理证明的动作空间通常极其庞大，这使得DQN难以进行有效的探索和学习。其次，定理证明的奖励往往是稀疏的，仅在成功完成证明时才能获得奖励，这严重阻碍了DQN学习有效策略。为应对这些挑战，研究者们正致力于改进DQN，例如，通过整合领域知识来缩小动作空间，或设计更有效的奖励函数，如中间奖励，以引导智能体学习。此外，分层强化学习方法也被考虑，其将复杂的证明任务分解为多个子任务，并分别训练DQN来解决这些子任务，有望提升整体性能。

策略梯度方法及其变体在处理连续或高维动作空间的定理证明问题时展现出潜力。相较于离散动作空间，连续动作空间能够实现对证明过程的更精细控制，例如调整参数或选择更复杂的证明策略。然而，直接应用传统的策略梯度方法往往效率低下，原因在于定理证明环境的奖励通常是稀疏的，且策略空间巨大。为了解决这些问题，研究者们探索了多种改进策略。一种方法是结合抽象技术，将原始状态空间和动作空间映射到更低维的抽象空间，从而简化学习过程。例如，Panangaden等人将马尔可夫决策过程（MDP）同态的概念扩展到连续状态和动作空间，并导出了抽象MDP上的策略梯度定理13。他们提出了一种actor-critic算法，能够同时学习策略和MDP同态映射，利用环境的近似对称性进行策略优化，并在DeepMind Control Suite等任务上验证了其有效性，证明了该方法在表征学习方面的优势，从而提高了性能2736。另一种改进方向是优化策略梯度估计。Che等人指出，传统的策略梯度方法忽略了状态分布中的折扣因子，这可能导致次优的学习行为14。他们引入了一种新的分布校正方法来解决这个问题，该方法通过改进状态强调来避免次优策略，并在多个基准测试中取得了与原始算法相当或更好的性能14。此外，研究者们也积极探索将策略梯度方法与其他技术相结合，例如模仿学习，以加速学习过程并提升性能。

模仿学习在定理证明中扮演着关键角色，它利用已有的定理证明数据来初始化或指导强化学习智能体的学习过程，从而加速学习并提高证明成功率。通过学习专家策略，模仿学习使智能体能够快速获得一个初步可行的策略，避免了从零开始探索的低效性。例如，Liu等人提出了AutoTrig，一个用于证明三角恒等式的自动证明系统，该系统首先使用随机广度优先搜索（rBFS）生成证明数据，然后通过模仿学习训练模型，使其能够模仿rBFS的证明步骤15。实验结果表明，经过模仿学习的模型在性能上优于rBFS，之后再通过强化学习进一步改进，AutoTrig能够以接近理论最短的步骤完成证明，且时间成本仅为rBFS的千分之一15。这表明模仿学习可以有效地将专家知识迁移到强化学习智能体中，为后续的强化学习过程提供良好的起点。除了直接模仿专家策略外，模仿学习还可以与强化学习相结合，以更有效地利用已有的证明数据。Zhao等人提出了一个基于子目标的演示学习框架，该框架借鉴了强化学习和机器人领域中子目标学习的思想，为每个演示示例构建不同的子目标，并根据相关的子目标学习理论对其进行改进16。该框架还利用扩散模型来预测最佳组织方式，从而解决演示组织中存在的子集选择和顺序确定这两个复杂问题16。通过整合基于子目标的学习方法，在miniF2F基准测试中，现有的证明准确率从38.9%提高到44.3%16。Veith等人也提出了一种混合智能体架构，该架构结合了基于模型的深度强化学习和模仿学习，以克服样本效率低和概念漂移等问题17。这些研究表明，模仿学习可以作为强化学习的补充，通过提供先验知识和指导，加速学习过程并提高证明成功率。

Transformer模型在自然语言处理领域的成功也启发了研究人员将其应用于强化学习，特别是在定理证明领域。基于Transformer的强化学习方法主要体现在利用Transformer进行状态表示和策略学习两个方面。在状态表示方面，Transformer能够捕捉数学表达式中的长距离依赖关系，从而更有效地表示复杂的证明状态。例如，它可以将整个证明树或当前的目标公式作为输入，通过自注意力机制学习各个部分之间的关联，生成更丰富的状态向量，为后续的策略学习提供更好的基础。在策略学习方面，Transformer可以作为策略网络，直接预测下一步的动作。Kyoung和Sung 18 提出了一种利用预训练Transformer解码器来指导强化学习智能体早期探索的方法，该方法通过在大量专家数据上预训练Transformer解码器，在学习的早期阶段引导智能体的行为。在篮球游戏FreeStyle1中的实验表明，该方法比传统的epsilon-greedy DQN方法获得了大约2.5倍的平均奖励和26%的胜率，证明了其在减少探索范围和优化学习时间方面的增强性能18。然而，基于Transformer的强化学习方法也存在一些局限性。首先，Transformer模型的计算复杂度较高，尤其是在处理长序列的数学表达式时，可能会导致训练时间过长。其次，Transformer模型的训练需要大量的训练数据，而在定理证明领域，高质量的证明数据往往难以获取。因此，如何有效地将Transformer模型与现有的强化学习算法相结合，仍然是一个值得深入研究的问题。

定理证明即强化学习的未来发展方向

多智能体强化学习（MARL）为攻克复杂的定理证明难题开辟了新途径。其核心思想在于将不同的证明策略赋予不同的智能体，通过智能体间的协同合作完成证明任务。这种方法尤其适用于需要融合多种推理技巧或跨越不同知识领域的复杂定理证明场景19。借鉴团队合作模式，每个智能体专注于自身擅长的领域，通过有效沟通与协作解决复杂问题。例如，借鉴卡车-无人机协同配送的思路，可以将不同的智能体训练成擅长不同的证明策略，如归纳法、反证法或等式推理，然后利用MARL算法协调它们的工作，例如，一个智能体负责分解问题，另一个智能体负责应用特定的推理规则，从而更有效地完成证明。此外，MARL还可用于优化定理证明中的资源分配，类似于边缘计算网络中对任务放置和多资源分配的协同优化20。通过将不同智能体分配到不同的计算资源上，并利用MARL算法优化资源分配，可以显著提升证明效率。尽管MARL在定理证明领域展现出广阔的应用前景，但诸如智能体间如何有效沟通、如何设计合适的奖励函数等问题仍待解决。

元学习旨在赋予强化学习智能体快速适应新定理证明任务并提升泛化能力。相较于传统强化学习方法需要大量训练数据才能在特定环境中取得良好效果，元学习致力于解决环境变化带来的挑战。通过学习“如何学习”，智能体能够从少量新数据中迅速适应新任务，避免从头开始学习。例如，NIAGRA通过学习名称不变的公式表示，使得模型能够更好地泛化到不同的领域，在迁移学习实验中表现出显著优势21。这表明，学习更通用的表示方法是提高智能体适应性的有效途径。尽管元学习在定理证明中的应用尚处于探索阶段，但其潜力不容忽视。未来的研究方向包括设计更有效的元学习算法，例如基于模型的元学习或基于优化的元学习，以进一步提升智能体在定理证明任务中的适应性和泛化能力，以及探索如何将元学习与现有的定理证明技术相结合，例如自动化策略搜索和证明验证。

可解释性与可信赖性是强化学习定理证明方法走向实用化的关键要素。提升可解释性有助于理解智能体的推理过程，从而发现潜在的错误或改进方向。可视化证明过程是一种有效手段，例如，将证明树或证明图以图形化的方式呈现，使用户能够直观地跟踪每一步的推理过程。此外，提供证明解释也至关重要，例如，对于每一步的推理，给出所使用的定理或规则的名称、前提条件以及推理结果，从而使用户能够理解智能体做出选择的原因。借鉴医学诊断领域将机器学习与可解释性人工智能（XAI）相结合的思路41434547，可以提高定理证明结果的可信度。同样，在机器人操作任务中，可信赖AI、可解释AI和可解释AI (XAI) 与深度强化学习(DRL)和逆强化学习(IRL)的结合，能够提高机器人操作任务的可信度 22。确保证明结果的可靠性同样至关重要，这可以通过形式化验证、多种强化学习算法的交叉验证，以及引入人类专家进行监督和指导等方式实现。通过人类专家对智能体证明过程的评估和反馈，可以帮助智能体学习更可靠的证明策略。

结论

综上所述，本文对“定理证明即强化学习”这一新兴领域进行了全面的综述，深入探讨了基于强化学习的定理证明环境构建、强化学习算法在定理证明中的应用与改进，以及该领域未来的发展方向。研究表明，形式化语言的选择、奖励函数的设计、动作空间和状态空间的设计是构建高效定理证明环境的关键；DQN、策略梯度方法、模仿学习以及Transformer等强化学习算法在定理证明中展现出各自的优势与局限性，需要针对具体问题进行改进和优化；而多智能体强化学习、元学习以及可解释性与可信赖性则是未来提升自动化定理证明能力的重要方向。

尽管目前基于强化学习的定理证明方法仍面临诸多挑战，但其在自动化数学推理方面的巨大潜力已初见端倪。未来的研究方向不仅在于算法的改进和环境的优化，更在于如何将强化学习与传统的定理证明技术深度融合，例如将强化学习用于自动化策略搜索，或利用强化学习优化证明过程中的启发式规则。此外，随着可解释性人工智能的不断发展，如何提高基于强化学习的定理证明方法的可解释性和可信赖性，将是推动该技术走向实用化的关键。我们有理由相信，在不远的将来，基于强化学习的定理证明系统将能够自主地发现和验证复杂的数学定理，为数学研究和计算机科学的发展带来革命性的变革。