重新审视价值函数：强化学习的范畴论方法综述

引言

强化学习 (Reinforcement Learning, RL) 作为人工智能领域的重要分支，旨在通过智能体与环境的交互学习最优策略，以最大化累积奖励。价值函数 (Value Function) 在强化学习中扮演着至关重要的角色，它用于评估特定状态或状态-动作对的长期价值，为策略的制定和优化提供关键信息。然而，传统的价值函数方法，如表格型方法、线性函数逼近和深度神经网络等，在处理高维状态空间、复杂环境以及泛化能力方面面临诸多挑战。这些方法往往依赖于特定的函数形式或网络结构，缺乏统一的理论框架，限制了其适用性和可扩展性。

为了克服这些局限，本文将重新审视价值函数，并引入范畴论 (Category Theory) 这一强大的数学工具，为强化学习的价值函数提供一种新的视角和理论框架。范畴论以其高度抽象和通用的特性，能够从更深层次理解和设计价值函数，从而为解决传统方法面临的挑战提供新的思路。本文旨在综述近年来基于范畴论的强化学习价值函数研究进展，探讨范畴论如何为价值函数提供新的理论框架和方法。

具体而言，本文将首先介绍范畴论的基本概念，并阐述其与强化学习的初步关联，包括将马尔可夫决策过程 (MDP) 形式化为范畴，以及将价值函数理解为函子。 随后，我们将深入探讨基于范畴论的价值函数抽象与泛化，包括利用伴随函子 (Adjoint Functors) 理解策略评估与策略改进，利用单子 (Monad) 结构表示价值迭代，以及利用范畴论中的极限与共极限进行价值函数逼近。 进一步地，本文将分析范畴论视角下的价值函数性质，并探讨如何利用范畴论工具进行价值函数的稳定性分析、泛化能力提升以及正则化方法设计。 通过对这些关键方面的深入探讨，本文旨在为读者提供一个关于范畴论在强化学习价值函数研究中的全面而深入的综述，并展望未来的研究方向。

范畴论基础与强化学习的初步关联

范畴论作为一种高度抽象的数学语言，为理解和处理复杂系统提供了强大的工具。其核心概念包括对象、态射、函子和自然变换。对象是范畴论中最基本的组成部分，可以理解为任何我们感兴趣的数学实体，例如集合、群或拓扑空间。态射则是在对象之间建立联系的“箭头”，代表对象之间的某种关系或变换，例如集合之间的函数、群之间的同态、拓扑空间之间的连续映射。在集合范畴中，对象是集合，态射是集合之间的函数，态射的复合就是函数的复合，这提供了一个直观的例子。函子是范畴之间的映射，它不仅将一个范畴的对象映射到另一个范畴的对象，还将态射也映射过去，并且保持态射的复合关系。例如，将每个拓扑空间映射到其基本群的函子，它将连续映射映射到群同态。自然变换则是在函子之间建立联系的“箭头”，它为每个对象提供了一个态射，这些态射以一种相容的方式与函子的作用相关联 1。Jobczyk等人对模糊自然变换进行了研究，并在编码理论中找到了应用，展示了自然变换在非传统逻辑环境下的扩展 14。

范畴论的概念在数学的许多领域都有着广泛的应用。在代数拓扑中，同调群和上同调群可以被视为从拓扑空间范畴到阿贝尔群范畴的函子，自然变换则可以用来比较不同的同调理论。在泛函分析中，算子代数可以被视为范畴，算子之间的态射则可以用来研究算子的性质。更有甚者，Sawamura等人尝试将范畴论应用于分子生物学，构建混合模型以可视化和模拟遗传过程 3。Bauer等人引入了寿命函子，并将其应用于持久同调理论，为计算图像、核和余核的条形码奠定了基础 3。Doupovec等人则利用范畴论描述了向量丛上的jet like函子 4。这些应用实例表明，范畴论不仅是一种抽象的数学理论，更是一种强大的工具，能够为解决实际问题提供新的视角和方法。

在强化学习领域，智能体通过与环境交互来学习最优策略。理解马尔可夫决策过程（MDP）、策略、奖励函数和价值函数至关重要。一个MDP可以用一个五元组表示 (S, A, P, R, γ)，其中 S 是状态集合，A 是动作集合，P 是状态转移概率，R 是奖励函数，γ 是折扣因子。状态转移概率 P(s'|s, a) 表示在状态 s 下采取动作 a 后转移到状态 s' 的概率。奖励函数 R(s, a) 定义了在状态 s 下采取动作 a 所获得的即时奖励。Léon and Etesami的研究考虑了具有未知转移函数和随机奖励的 episodic MDP，智能体的目标是在有限的时间范围内学习最优策略并最小化遗憾5。策略 π(a|s) 定义了在状态 s 下选择动作 a 的概率分布。价值函数用于评估策略的优劣，包括状态价值函数 Vπ(s) 和动作价值函数 Qπ(s, a)。状态价值函数 Vπ(s) 表示从状态 s 出发，遵循策略 π 所能获得的期望累积折扣奖励。动作价值函数 Qπ(s, a) 表示在状态 s 下采取动作 a，然后遵循策略 π 所能获得的期望累积折扣奖励。价值函数在强化学习中扮演着核心角色，指导智能体选择最优动作，并评估策略的性能。

从范畴论的视角来看，马尔可夫决策过程（MDP）可以被形式化为一个范畴，其中状态空间被视为对象，状态之间的转移概率被视为态射6。这种形式化为理解MDP的结构提供了一种更抽象的方式。奖励函数可以被视为一个函子，它将状态空间范畴映射到实数范畴，从而将每个状态映射到一个奖励值。例如，在一个简单的网格世界环境中，每个网格单元格代表一个状态，智能体的动作决定了状态之间的转移概率。在范畴论的框架下，每个网格单元格可以视为一个对象，而智能体的动作则对应于连接这些对象的态射。如果智能体从单元格A向右移动到单元格B的概率为0.8，那么就存在一个从对象A到对象B的态射，其值为0.8。奖励函数则将每个单元格映射到一个实数，例如，目标单元格的奖励为+1，其他单元格的奖励为0。正如Di Lavore和Rom'an所展示的，这种范畴论的视角能够更清晰地表达约束、观察和更新等概念，并为贝叶斯定理等提供了一个合成的表达方式6。

更进一步，价值函数可以被理解为从状态空间范畴到实数范畴的函子。具体而言，MDP的状态空间可以视为一个范畴，其中状态是对象，状态之间的转移概率是态射。奖励函数是从状态空间范畴到实数范畴的一个函子，它将每个状态映射到一个实数奖励值。价值函数，作为对未来累积奖励的期望，也可以被视为一个函子，它将每个状态映射到从该状态出发的期望累积奖励值。以网格世界环境为例，如果智能体可以从单元格A移动到单元格B，那么就存在一个从A到B的态射。奖励函数将每个单元格映射到一个奖励值，而价值函数则将每个单元格映射到从该单元格出发的期望累积奖励。通过范畴论的视角，可以更抽象地理解价值函数的性质，例如，价值函数的 Bellman 方程可以被视为函子之间的关系。Carlos E. Luis等人在研究中引入了一个Bellman算子，其不动点是价值分布函数7。这种将价值函数视为分布函数的思想，可以更好地量化策略长期性能的不确定性。

基于范畴论的价值函数抽象与泛化

范畴论为强化学习中的价值函数提供了一种全新的抽象和泛化视角。通过引入伴随函子、单子、极限与共极限等概念，以及在多智能体环境下的价值函数分解，可以更深入地理解和优化强化学习算法。

在策略评估和策略改进方面，范畴论将其视为伴随函子之间的关系。策略评估可以理解为寻找一个将策略映射到其对应价值函数的伴随函子，而策略改进则是在这些伴随函子之间进行优化，旨在寻找能够最大化期望回报的更优策略。这种观点为理解强化学习算法提供了一个新的抽象层次。例如，Liu等人8提出的RPI算法，交替使用模仿学习和强化学习，本质上就是在不同的“伴随函子”之间进行切换，利用模仿学习提供探索的指导，然后利用强化学习进行优化。RPI算法在学习过程中，会根据在线估计的性能，在模仿学习和强化学习之间进行切换，这可以被视为在不同的伴随函子之间进行优化，以获得更好的策略。Faccio等人9提出的方法学习一个单一的价值函数来评估多个策略，也可以理解为在伴随函子的框架下，学习一个能够泛化到不同策略的价值函数表示。

此外，范畴论还通过Monad（单子）结构对价值迭代进行抽象，将价值迭代过程视为单子上的计算，从而简化算法的推导和实现。通过将状态转移、奖励函数等操作封装在单子内部，然后通过单子的组合操作来实现价值迭代10，使得代码更加清晰易懂，并且可以更容易地进行算法的扩展和修改。具体而言，价值迭代算法可以被看作是在一个状态空间上重复应用Bellman算子的过程，而Bellman算子可以被看作是一个单子的bind操作。这种抽象的优势在于，可以利用单子的代数性质来简化算法的推导和证明，例如利用单子的结合律来证明价值迭代算法的收敛性，还可以方便地将价值迭代算法与其他算法进行组合。

范畴论中的极限和共极限也为定义和逼近最优价值函数提供了一种新的视角。通过将一系列近似的价值函数视为一个范畴中的对象，而它们之间的关系（例如，通过某种策略迭代算法得到的改进）则可以视为态射，我们可以利用极限和共极限的概念来获得更优的价值函数，甚至是最优价值函数的逼近。Hedges和Sakamoto 11指出，动态规划中的价值迭代可以被视为一个范畴中的组合，而最优价值函数则是这一系列组合的极限。Arumugam和Van Roy 12 在模型压缩的背景下，也暗示了类似的思想，即在agent能力有限的情况下，需要寻找一个足够简单且次优性有界的模型，这可以看作是在模型复杂度和价值函数逼近精度之间寻找一个“极限”。

最后，范畴论还为多智能体强化学习（MARL）中的价值函数分解提供了一种新的视角，允许我们将全局价值函数分解为局部价值函数的组合，从而简化复杂环境下的学习过程，更好地处理信用分配问题，并提高学习效率。Value Decomposition Networks (VDN) 和 QMIX 等方法通过分解全局Q值来学习个体策略，而Jian Zhao等人提出的MCMARL框架，则将这种分解推广到分布式的Q值，使得原有的期望价值函数分解方法可以应用到MCMARL中13。Jiachen Yang等人将每个网格单元视为一个独立的智能体，通过学习局部价值函数来决定是否进行细化或粗化14，并设计了一种名为Value Decomposition Graph Network (VDGN) 的算法，解决了AMR中由于智能体的创建和删除导致的信用分配问题，以及由于网格几何结构多样性导致非结构化观察的问题。此外，基于范畴论的价值函数分解方法还可以应用于具有有向协调图的分布式MARL中，通过局部通信和价值函数评估，实现高效的策略学习，避免全局共识带来的高通信成本和可扩展性问题15。

范畴论视角下的价值函数性质分析与改进

价值函数的稳定性分析是强化学习算法可靠收敛至最优解的关键。范畴论为此提供了一种崭新的分析框架。通过将价值函数视为范畴间的函子，便可运用范畴论工具考察其迭代过程中的收敛性与稳定性。例如，在非零和博弈中，Lei Guo等人采用积分强化学习方法，提出了一种新型积分HJ方程，并借助神经网络逼近最优价值函数16。他们运用Lyapunov分析确保闭环系统的稳定性和权重的收敛性16。从范畴论角度来看，此方法可视作在函数空间范畴中寻找不动点，而Lyapunov函数则可理解为一种泛函，用于衡量迭代过程的“能量”，能量的递减对应于价值函数的收敛。进一步，通过研究价值函数函子的性质，如连续性或正规性，可以推断其迭代过程的稳定性。具备良好范畴论性质的价值函数函子，往往预示着相应的强化学习算法拥有更佳的稳定性和收敛性。

范畴论的抽象特性为设计具备更强泛化能力的价值函数表示提供了新思路。传统方法通常依赖于特定的函数逼近器，如神经网络或线性函数，而范畴论则提供了一个更通用的框架来描述价值函数间的关系，从而能够设计出更具鲁棒性的泛化方法。Le Lan等人指出17，状态表示在强化学习中扮演着关键角色，它们既用于以少量参数近似价值函数，又用于推广到新遇到的状态。他们提出了一种基于“有效维度”的泛化误差界限，该维度衡量了已知一个状态的价值在多大程度上能告知其他状态的价值。此界限适用于任何状态表示，并量化了良好泛化和良好近似之间的内在张力17。此外，Wen和Van Roy提出了乐观约束传播(OCP)算法18，旨在综合高效探索和价值函数泛化。他们证明，当真实的价值函数位于给定的假设类中时，OCP在除了最多K个episode之外的所有episode中选择最优动作，其中K是给定假设类的eluder维度18。这表明，通过对价值函数空间施加适当的约束，可以提升泛化能力。范畴论可用于形式化这些约束，例如，通过定义价值函数空间上的范畴结构，并利用范畴论中的极限和共极限等概念来约束价值函数的形状。

基于范畴论的价值函数正则化方法旨在利用范畴论的结构信息，设计更有效的正则化策略，从而避免强化学习中的过拟合现象。与传统正则化方法不同，范畴论提供了一种更系统和抽象的方式来理解价值函数的结构，并以此为基础设计正则化项。一种思路是借鉴Kullback-Leibler (KL) 散度正则化的思想，并将其与范畴论的框架相结合。Renxing Li等人提出的KL-C51方法19，通过在分布式的强化学习框架中引入KL散度正则化，实现了学习稳定性和数据效率的提升。从范畴论的角度来看，KL散度可以被视为两个概率分布之间的“距离”，而正则化项则可以被理解为在价值函数空间中引入一种“势能”，引导价值函数向更平滑、更稳定的方向演化。KL-C51通过将Boltzmann softmax项映射到分布上，实现了探索行为和价值函数更新的平滑，从而提高了学习的稳定性和数据效率。尽管KL-C51并非直接基于范畴论构建，但其正则化思路可以借鉴到范畴论框架下，例如，可以定义一个范畴，其对象是价值函数，态射是价值函数之间的某种“变换”，然后利用范畴论中的工具来定义和优化KL散度正则化项。

结论

综上所述，本文深入探讨了范畴论在强化学习价值函数研究中的应用，揭示了其在抽象、泛化、稳定性和正则化等方面的独特优势。通过将马尔可夫决策过程形式化为范畴，并将价值函数理解为函子，我们得以从更深层次理解价值函数的本质。利用伴随函子、单子以及极限与共极限等范畴论工具，我们能够更有效地进行策略评估与改进、价值迭代以及价值函数逼近。此外，范畴论还为多智能体强化学习中的价值函数分解提供了新的思路，有助于解决复杂环境下的学习问题。值得注意的是，尽管范畴论为价值函数研究带来了诸多益处，但其抽象性也带来了一定的理解和应用难度。如何将深奥的范畴论概念转化为易于理解和使用的算法工具，仍然是一个重要的挑战。

展望未来，基于范畴论的强化学习价值函数研究具有广阔的发展前景。一方面，可以将范畴论应用于更复杂、更现实的强化学习场景，例如部分可观测马尔可夫决策过程、分层强化学习以及元强化学习等。另一方面，可以将范畴论与其他数学工具，如拓扑学、微分几何等相结合，构建更强大的价值函数建模和分析框架。此外，探索范畴论在强化学习可解释性方面的应用也具有重要意义。通过范畴论的抽象，我们或许能够更好地理解强化学习算法的内在机制，从而设计出更安全、更可靠的智能体。最终，我们期待范畴论能够为强化学习带来革命性的突破，推动人工智能技术的进一步发展。